sin 和 cos 的定义

问题提出

“同学们，“我站在呼噜星球的教室里，“我们已经学习了单位圆和弧度制。今天，我们要正式定义三角函数——sin（正弦） 和 cos（余弦）。”

一个学生说：“老师，我初中就学过 sin 和 cos，在直角三角形中定义。”

我问：“那在圆上，sin 和 cos 如何定义？直角三角形的定义和单位圆的定义有什么关系？”

学生们开始思考。

“今天我们要回答几个关键问题：

sin 和 cos 在单位圆上的严格定义
与直角三角形定义的关系
sin 和 cos 的基本性质”

观察与猜想

直角三角形的定义回顾

我先让学生回顾直角三角形中的定义：

在直角三角形中，设角 θ 为一个锐角：

$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

我问：“这个定义有什么局限？”

学生们发现：

“只能定义锐角（0° < θ < 90°）”
“不能定义 0°、90°、180° 等特殊角度”
“不能定义钝角或负角”

我补充：“直角三角形的定义适用于锐角，但对于任意角度，我们需要更广泛的定义——单位圆定义。“

单位圆上的定义猜想

我让学生观察单位圆：

设角 θ 的终边与单位圆交于点 P(x, y)。

我问：“点 P 的坐标与 θ 有什么关系？”

学生们猜想：

“x 坐标可以表示 θ 的某种函数”
“y 坐标可以表示 θ 的某种函数”

我追问：“这种函数关系与直角三角形中的定义有什么联系？”

一个学生说：“在锐角时，坐标 x = cos θ，y = sin θ，正好对应邻边和斜边、对边和斜边的比值！”

我点头：“这个猜想完全正确！“

严格证明

单位圆上的三角函数定义

正弦函数和余弦函数

设角 θ 的终边与单位圆交于点 P，坐标为 (x, y)。

定义：

余弦函数： $\cos\theta = x$ （点 P 的横坐标）
正弦函数： $\sin\theta = y$ （点 P 的纵坐标）

定义的意义：

cos θ 和 sin θ 是单位圆上点的坐标
这个定义适用于任意角度（包括负角、大于 360° 的角）
与直角三角形定义兼容（对于锐角）

与直角三角形定义的关系

证明两种定义的一致性（锐角情形）

设 θ 为锐角，终边与单位圆交于点 P(x, y)。

作垂线：从 P 向 x 轴作垂线，垂足为 H。

得到直角三角形 OHP，其中：

OP = 1（单位圆半径）
OH = x（邻边）
PH = y（对边）

由直角三角形定义：

$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{OH}{OP} = \frac{x}{1} = x$
$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{PH}{OP} = \frac{y}{1} = y$

这与单位圆定义一致！

结论：单位圆定义是直角三角形定义的自然推广。

三角函数的基本性质

性质 1：值域

由于点 P 在单位圆上，坐标范围为：

$-1 \leq x \leq 1$ ，所以 $-1 \leq \cos\theta \leq 1$
$-1 \leq y \leq 1$ ，所以 $-1 \leq \sin\theta \leq 1$

性质 2：基本恒等式

点 P 在单位圆上，满足 $x^2 + y^2 = 1$ 。

代入坐标：

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

这是最基本的三角恒等式。

性质 3：周期性

$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的周期都是 $2\pi$ ：

$\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$
$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$

证明：角 $\theta + 2\pi$ 的终边与 $\theta$ 的终边相同，所以交点相同。

性质 4：对称性

由单位圆的对称性：

关于 x 轴对称： $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ （奇函数） $\cos(-\theta) = \cos\theta$ （偶函数）
关于 y 轴对称： $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
关于原点对称： $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$

性质 5：互补关系

$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$

证明：角 $\frac{\pi}{2} - \theta$ 的终边与角 θ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，交换了 x 和 y 坐标。

特殊角的函数值

特殊角的三角函数值

通过单位圆的几何性质，可以计算特殊角的函数值：

θ	cos θ	sin θ
0	1	0
π/6	√3/2	1/2
π/4	√2/2	√2/2
π/3	1/2	√3/2
π/2	0	1
π	-1	0
3π/2	0	-1
2π	1	0

推导 π/6（30°）的函数值：

构造 30° 角的直角三角形。

设斜边为 1，则：

对边（30°对边）= 1/2
邻边 = √3/2（勾股定理）

所以：

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

推导 π/3（60°）的函数值：

60° 是 30° 的余角，利用互补关系：

$\sin\frac{\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

三角函数的图像

三角函数图像的特征

cos θ 的图像：

波形曲线，振幅为 1
在 θ = 0 时取得最大值 1
周期为 2π
偶函数（关于 y 轴对称）

sin θ 的图像：

波形曲线，振幅为 1
在 θ = π/2 时取得最大值 1
周期为 2π
奇函数（关于原点对称）

图像关系：

sin θ 可以看作 cos θ 向左平移 π/2
$\sin\theta = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$

结论与应用

核心结论

单位圆定义： $\cos\theta = x$ , $\sin\theta = y$ （点坐标）
与直角三角形定义兼容：自然推广
值域：[-1, 1]
基本恒等式： $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
周期性：周期为 2π
奇偶性：cos 是偶函数，sin 是奇函数

应用举例

例题 1：计算 $\sin\frac{5\pi}{6}$

解：

$\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ ，在第二象限。

由对称性： $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$

所以：

\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

例题 2：已知 $\sin\theta = \frac{3}{5}$ ，θ 在第一象限，求 $\cos\theta$

解：

由恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ：

\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

θ 在第一象限， $\cos\theta > 0$ ：

\cos\theta = \frac{4}{5}

例题 3：证明 $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$

证明：

角 $\theta + \pi$ 的终边与角 θ 的终边关于原点对称。

终边与单位圆的交点关于原点对称，坐标变为 $(−x, −y)$ 。

所以：

\cos(\theta + \pi) = -x = -\cos\theta

呼噜星人的收获

课程结束时，学生们深刻认识到：

单位圆定义的普遍性：适用于任意角度
与直角三角形的关系：自然推广，保持一致
基本性质的推导：从单位圆几何性质直接得到
三角函数的本质：坐标与角度的函数关系

“老师，“一个学生总结道，“我终于理解了三角函数的本质——它们就是单位圆上点的坐标！这个定义既简单又普遍，包含了直角三角形的情况，还能处理任意角度。单位圆真是三角函数的完美’舞台’。”

“正是！“我赞许道，“单位圆定义展示了数学的美妙：一个简单的几何对象（单位圆）蕴含了丰富的函数关系。接下来的课程，我们将学习其他三角函数和更多性质。”

下节课：其他三角函数。

上一章节角度的测量角度有哪几种测量方法？弧度制与圆有什么联系？

下一章节其他三角函数除了sin和cos，还有哪些三角函数？它们如何定义？