其他三角函数

问题提出

“同学们，上节课我们学习了 sin 和 cos。“我站在讲台上，“但三角函数不止这两个。今天我们要学习其他三角函数——tan（正切）、cot（余切）、sec（正割）、csc（余割）。”

一个学生问：“老师，为什么要定义这么多三角函数？sin 和 cos 不够用吗？”

我解释：“sin 和 cos 是最基本的，但其他三角函数在某些问题中更方便。比如计算斜率时，tan 更直接。”

“今天我们要回答：

其他三角函数如何定义？
它们与 sin、cos 的关系？
它们的定义域和值域是什么？“

观察与猜想

从直角三角形出发

我先让学生回顾直角三角形中的定义：

设直角三角形中，角 θ 为一个锐角，斜边为 c，对边为 a，邻边为 b。

已知的定义：

$\sin\theta = \frac{a}{c}$
$\cos\theta = \frac{b}{c}$

我问：“还能用这些边构造其他比值吗？”

学生们提出：

$\frac{a}{b}$ （对边/邻边）
$\frac{b}{a}$ （邻边/对边）
$\frac{c}{b}$ （斜边/邻边）
$\frac{c}{a}$ （斜边/对边）

我点头：“这正是其他四个三角函数的定义！“

定义猜想

学生们命名：

$\frac{a}{b} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ —— “正切”tan
$\frac{b}{a} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ —— “余切”cot
$\frac{c}{b} = \frac{1}{\cos\theta}$ —— “正割”sec
$\frac{c}{a} = \frac{1}{\sin\theta}$ —— “余割”csc

我总结：“你们的猜想完全正确！“

严格证明

正切函数的定义

正切函数

定义：

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

在直角三角形中（锐角）：

\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

tan 的几何意义：

在单位圆上，tan θ 表示：

终边在切线 $x = 1$ 上的截距
从点 (1, 0) 到终边与切线交点的距离

证明：设终边与切线 $x = 1$ 交于点 $T(1, t)$ 。

由相似三角形：

\frac{t}{1} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta

定义域问题：

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 要求 $\cos\theta \neq 0$ 。

$\cos\theta = 0$ 的角度： $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$ （ $k$ 为整数）

所以 tan 的定义域：

\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

值域： $\tan\theta \in \mathbb{R}$ （所有实数）

余切函数的定义

余切函数

定义：

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}

在直角三角形中（锐角）：

\cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}}

定义域问题：

$\cot\theta$ 要求 $\sin\theta \neq 0$ 。

$\sin\theta = 0$ 的角度： $\theta = k\pi$ （ $k$ 为整数）

所以 cot 的定义域：

\theta \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

值域： $\cot\theta \in \mathbb{R}$

正割和余割函数

正割函数

定义：

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

在直角三角形中（锐角）：

\sec\theta = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}}

余割函数

定义：

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

在直角三角形中（锐角）：

\csc\theta = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}}

定义域和值域：

sec θ：

定义域： $\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ （与 tan 相同）
值域： $\sec\theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

csc θ：

定义域： $\theta \neq k\pi$ （与 cot 相同）
值域： $\csc\theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

六个三角函数的关系

六个三角函数的关系

设角 θ 在适当的定义域内：

倒数关系：

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

\sin\theta \cdot \csc\theta = 1

\cos\theta \cdot \sec\theta = 1

商数关系：

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

平方关系：

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

平方恒等式的推导

推导 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

从基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 开始。

两边除以 $\cos^2\theta$ ：

\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}

\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta

即：

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

推导 $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

从基本恒等式开始，两边除以 $\sin^2\theta$ ：

\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta}

1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

特殊角的函数值表

特殊角的三角函数值

θ	sin θ	cos θ	tan θ	cot θ	sec θ	csc θ
0	0	1	0	∞	1	∞
π/6	1/2	√3/2	√3/3	√3	2√3/3	2
π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
π/3	√3/2	1/2	√3	√3/3	2	2√3/3
π/2	1	0	∞	0	∞	1

注意：”∞” 表示在该角度处函数无定义（趋向无穷）。

结论与应用

核心结论

六个三角函数：sin, cos, tan, cot, sec, csc
定义关系：tan = sin/cos, cot = cos/sin, sec = 1/cos, csc = 1/sin
定义域限制：tan 和 sec 在 $\cos\theta = 0$ 处无定义；cot 和 csc 在 $\sin\theta = 0$ 处无定义
三个平方恒等式： $\sin^2+\cos^2=1$ , $1+\tan^2=\sec^2$ , $1+\cot^2=\csc^2$

应用举例

例题 1：已知 $\tan\theta = 2$ ，θ 在第一象限，求其他三角函数值。

解：

由 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ ：

\sec^2\theta = 1 + 4 = 5

θ 在第一象限， $\sec\theta > 0$ ：

\sec\theta = \sqrt{5}

由 $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ ：

\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

由 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ：

\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

其他：

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{2}

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

例题 2：证明 $\tan\theta + \cot\theta = \sec\theta \cdot \csc\theta$

证明：

左边：

\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}

右边：

\sec\theta \cdot \csc\theta = \frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}

左边 = 右边，证毕。

例题 3：简化 $\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta}$

解：

分子分母同乘 $\cos\theta$ ：

\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = \frac{\frac{1}{\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}

可以继续简化：

\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} = \frac{(1 - \sin\theta)^2}{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)} = \frac{(1 - \sin\theta)^2}{\cos^2\theta} = \left(\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}\right)^2

呼噜星人的收获

课程结束时，学生们认识到：

六个三角函数的完整体系：相互关联，可以互相推导
定义域的重要性：注意函数在何处无定义
恒等式的威力：可以从一个函数值推导所有其他值
实际应用：tan 在斜率计算中更直接，sec 和 csc 在物理中常用

“老师，“一个学生总结道，“我发现六个三角函数是一个’闭环’——知道其中一个，就能推导所有其他。这种相互关联展示了数学的整体性。”

“正是！“我赞许道，“三角函数的六个定义虽然看起来复杂，但它们有着内在的逻辑联系。理解这种联系，就能灵活运用。接下来的课程，我们将学习三角函数的周期性和奇偶性。”

下节课：三角函数的周期性。

上一章节 sin 和 cos 的定义如何用单位圆严格定义 sin 和 cos？它们有什么性质？

下一章节三角函数的周期性三角函数为什么具有周期性？周期是多少？