圆的连续性

连续函数的基本性质

设 f(x) 和 g(x) 在 x₀ 处连续，则：

1. 和差积商连续：

   • f(x) ± g(x) 连续
   • f(x) · g(x) 连续
   • f(x)/g(x) 连续（若 g(x₀) ≠ 0）

2. 复合函数连续： 若 f 在 g(x₀) 处连续，g 在 x₀ 处连续，则 f(g(x)) 在 x₀ 处连续。

3. 初等函数连续： 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）在其定义域内连续。

圆的连续性

圆可以用几种方式表示，我们逐一分析连续性：

方式一：分段函数

上半圆：$y = \sqrt{r^2 - x^2}$，$x \in [-r, r]$

下半圆：$y = -\sqrt{r^2 - x^2}$，$x \in [-r, r]$

分析上半圆的连续性：

设 $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$，定义域 $[-r, r]$。

在内部点 $x \in (-r, r)$：

• $\sqrt{r^2 - x^2}$ 是初等函数的复合，在其定义域内连续
• 所以 f(x) 在 $(-r, r)$ 内连续 ✓

在端点 $x = \pm r$：

• $f(r) = 0$，$f(-r) = 0$
• 单侧极限：$\lim_{x \to r^-} f(x) = 0 = f(r)$
• 左连续 ✓，右连续没有定义（x > r 时函数无定义）

结论：上半圆在其定义域内连续（包括端点的单侧连续）。

方式二：参数方程

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $\theta \in [0, 2\pi)$

$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 是连续函数，所以：

• x(θ) 连续 ✓
• y(θ) 连续 ✓

参数方程表示整个圆，处处连续。

方式三：隐函数

$x^2 + y^2 = r^2$

隐函数 $F(x, y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0$ 是连续函数。

由隐函数定理，在 $y \neq 0$ 的点（即除 $x = \pm r$ 外），局部可以表示为连续函数 y = f(x)。

圆是连续封闭曲线

圆的参数方程：

1. 连续性：$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 都连续 ✓
2. 封闭性：
   • $\vec{r}(0) = (r, 0)$
   • $\vec{r}(2\pi) = (r, 0)$
   • 起点 = 终点 ✓

所以圆是连续封闭曲线。