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积分的单调性

积分的单调性描述了积分区间与积分值之间的关系。

基本定理

定理 7

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geq 0$ ，则对任意 $a \leq c < d \leq b$ ，有：

$\int_a^c f(x) dx \leq \int_a^d f(x) dx$

证明：由积分的区间可加性，

$\int_a^d f(x) dx - \int_a^c f(x) dx = \int_c^d f(x) dx$

又因 $f(x) \geq 0$ ，由积分的保号性知 $\int_c^d f(x) dx \geq 0$ ，故 $\int_a^c f(x) dx \leq \int_a^d f(x) dx$ 。

注意：结论依赖 $f(x) \geq 0$ 这一前提。若 $f$ 在 $[c, d]$ 上取负值， $\int_c^d f(x) dx$ 可能为负，不等号方向不再成立。例如 $f(x) = -1$ 时， $\int_0^{0.2} f(x) dx = -0.2 > -0.8 = \int_0^{0.8} f(x) dx$ 。

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