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调和级数

定义

调和级数的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 称为调和级数。调和级数是 $p$ 级数的特殊情况，当 $p = 1$ 时。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限

调和级数的发散性

调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的。

证明

方法一：p级数判别法

调和级数是 $p$ 级数的特殊情况， $p = 1 \leq 1$ ，所以发散。

方法二：积分判别法

也可以用积分判别法证明：

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

将调和级数按如下方式分组：

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

下面说明每个括号中的和都严格大于 $\frac{1}{2}$ ：

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$

一般地，第 $k$ 个括号从 $\frac{1}{2^k+1}$ 到 $\frac{1}{2^{k+1}}$ ，共 $2^k$ 项，每一项都大于 $\frac{1}{2^{k+1}}$ ，故该括号的和大于 $2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}$ 。

因此级数的部分和满足：

$S > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

随着括号个数无限增加，右端可以任意增大，故部分和趋向于 $+\infty$ ，调和级数发散。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

调和级数级数收敛性 p级数

解题思路：这是调和级数，是 $p$ 级数的特殊情况。

详细步骤：

答案：级数发散。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$n$	数学符号	项数	级数中的项数
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数